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22 juin 2012

Poids et poussées des voûtes d'ogives - la table de Ungewitter et Mohrmann

La table de Ungewitter et Mohrmann, publiée pour la première fois en 1890 à Leipzig dans la troisième édition du "Lehrbuch der gotischen Konstruktionen", permet de calculer rapidement le poids et la poussée que les voûtes d'ogives exercent sur leurs piédroits. Cette table a été partiellement traduite en anglais (Heyman (1995) [1]). Elle est d'une grande simplicité d'utilisation, mais reste sujette à des restrictions d'utilisation, notamment sur la forme en plan des travées considérées, et sur les formes des voûtes. Les conditions d'applications de cette table sont décrites dans les pages 137 à 1401 de l'ouvrage de Ungewitter et Mohrmann. Nous proposons ici une traduction commentée de ces pages, qui sont importantes pour utiliser à bon escient la table. Nos commentaires sont indiqués dans les notes de bas de page.
Le lecteur pourra trouver à la fin de cet article un petit lexique pour aider à la lecture du texte original. Lors de la première utilisation d'un terme important, nous indiquons l'expression d'origine en allemand. La traduction proposée ci-dessous doit encore être améliorée :elle le sera progressivement. N'hésitez pas à nous signaler vos suggestions et corrections.
Fig 1: Table 1 tirée de Ungewitter [4]
numérisé par Google
Explications concernant la table des poids et poussées horizontales des voûtes en berceau et des voûtes d'ogives2 simples
Bien qu'il soit assez facile de calculer avec la précision nécessaire les poussées ["Schübe"] des voûtes grâce aux méthodes présentées ci-dessus [NDT pages non traduites], il semble qu'il soit souhaitable de compiler une table pour les types de voûtes habituels, selon les différences de flèche, d'épaisseur des voûtains["Wölbstärke"], de matériau, afin de pousser plus loin encore la simplification (voir table 1). La table a été déterminée sur la base des lignes de pression3 ["Stützlinien"] construites en appliquant la formule simple $H.h = G.a$ (voir figure 365). Elle est valable pour les voûtes d'ogives symétriques sur plan carré ou légèrement rectangulaire, avec peu ou pas de surélévation ["Überhöhung"] des arcs doubleaux ou formerets. Elle est utilisable pour les voûtes de taille quelconque en plan, étant donné que le poids $\Vo $ et la poussée $\Ho{}$ sont indiqués par mètre carré de surface au sol. Ces chiffres sont multipliés avec les aires d'influence (en mètre carré) des parties de voûtes chargeant le piédroit ["Widerlager"] considéré (habituellement une demi-voûte), afin de donner la force verticale et la poussée horizontale s'appliquant sur le piédroit.
Rapporter le poids et la poussée à la surface au sol pourrait paraître un peu hasardeux au premier abord, puisque pour différentes grandeurs de voûtes des variations notables apparaissent dans la masse du remplissage ["Hintermauerung"] et des nervures ["Bogenglieder"] ; une étude a montré cependant, que ces différences se déplacent dans d'étroites limites pour les voûtes de constitution moyenne ["durchschnittlichen Wölbbildungen"]. Pour la donnée de la poussée de la voûte [dans la table], ces limites ont été prises en compte par l'inscription de deux valeurs. Pour les voûtes de forme différente, qui possèdent par exemple un arc diaphragme ["übermauerte Gurt"] ou qui sont chargées ponctuellement, la table n'est naturellement plus valable.
Les longueurs dont nous allons parler (bras de levier du poids et autres) sont exprimées par leur rapport à la portée ou à la flèche de la voûte. La portée est la distance intérieure ["Lichtmass"] entre parements des murs [?] ["Wandflucht"]ou bien, lorsqu'ils existent, entre les arcs doubleaux ou entre les arcs formerets. La flèche est la hauteur entre le plan de base (la face supérieure du chapiteau, quand l'arc n'est pas surélevé ["keine Stelzung"]) jusqu'à la face inférieure du voûtain à la clé ["Unterkante Kappe im Scheitel"]. Si la voûte est surhaussée [ou bombée ?]["überhöht"], alors il faut choisir une flèche moyenne4.
La table classe les voûtes d'après leur hauteur ["Höhenentwicklung"] en cinq groupes : $I$ à $V$ suivant leur rapport flèche/portée de $1:8$, $1:3$, $1:2$, $2:3$ et $5:6$. Chaque groupe est subdivisé en six sous-groupes $a$ à $f$, dans lesquels le matériau et l'épaisseur du voûtain sont considérés. Pour les voûtes qui ne correspondent pas exactement à un groupe ou sous-groupe, il est possible d'interpoler les valeurs.
[NDT : les six sous-groupes sont indiqués directement dans la table 1 :
$a$. Voûtain 1/2 brique légère ;
$b$. Voûtain 1/2 brique dure ou 3/4 brique légère ;
$c$. Voûtain 3/4 brique dure ou 1 brique légère ;
$d$. Voûtain 1 brique dure ou 20cm de grès ["Sandstein"] ;
$e$. Voûtain 30cm de moellon ;
$f$. voûte en brique avec remplissage de niveau ["überfülltes Ziegelgewölbe"], et dallage. 32cm à la clé.]
Fig 2: Figure 365 tirée de Ungewitter et Mohrmann [4]
numérisé par Google
Les colonnes verticales comprennent :
$\Vo{} =$ poids par mètre carré en plan au sol. Sont compris les voûtains, les nervures saillantes en brique ["vortretende Ziegelrippen"], ou en pierre de taille d'épaisseur moyenne ["Werksteinrippen mässiger Stärke"], un remplissage maçonné des reins de voûte de hauteur modérée ["mässige Hintermauerung"], et un enduit sur l'intrados de la voûte ["unterer Putzauftrag"] de 1,0 à 1,5cm d'épaisseur. Le format des briques est supposé être le format normal allemand de 25x12x6,5cm. Le poids volumique des pierres et mortiers est indiqué par mètre cube : 1600kg pour les briques ordinaires, de 1200 à 1300kg pour les briques poreuses légères (cependant on compte alors pour les arcs et écoinçons de la brique résistante ["feste Ziegel"]), 2000kg pour le grès et 2400kg pour les moellons hourdés au mortier de chaux ["Brüchstein in Kalkmörtel"]. Un supplément raisonnable doit être ajouté dans le cas de nervures en pierre de taille et arcs-doubleaux massifs.
Pour les voûtes de type $f$, le poids volumique moyen pour le voûtain en brique, le remplissage ["Füllung"] et le dallage ["Fussboden"] est supposé valoir 1600kg/m3. (Pour les voûte en briques avec remplissage de niveau, le poids par mètre carré au sol varie suivant leur grandeur, et il ne peut donc être donné que pour des tailles de voûtes particulières - voir les exemples des dernières colonnes).
$a =$ Bras de levier du poids de la partie de voûte considérée qui s'appuie sur le piédroit (par exemple une demi-voûte), et qui [le poids] passe par le centre de gravité. Ce bras de levier, qui est mesuré depuis le parement du mur ou bien depuis l'alignement de l'arc formeret ["Schildbogenflucht"], varie entre 1/6 et presque 1/4 de la portée totale, selon l'élancement ["Steilheit"] de la voûte.
$h =$ Bras de levier de la poussée horizontale ou flèche ["Pfeilhöhe"] de la ligne de pression (ou du berceau de pression idéal [?] ["ideellen Stütztonne"]). Par ceci il faut entendre la différence de hauteur entre la poussée horizontale à la clé et le point de transfert de la poussée ["Übertritte des Druckes"] au piédroit. Comme limite du piédroit, est considéré le parement du mur ou bien le plan vertical passant par la face ["Vorderfläche"] du formeret. Cette mesure $h$ est celle définie le moins précisément, puisque dans une même voûte sont possibles des transmissions de la poussée [ou lignes de pression ?] ["Druckübertragung"] plus ou moins plates ou raides5. On calcule une flèche de la ligne des pressions pas trop grande par sécurité6, et on obtient en règle générale ensuite des hauteurs sensiblement plus réduites que celle de la voûte. Dans la table, $h$ varie entre 3/4 et 9/10 de la flèche de la voûte.
$z =$ Hauteur à laquelle la force-oblique7 ["Widerlagsdruck"] intersecte le parement du mur ou le formeret. Cette hauteur est mesurée vers le haut depuis la base de la voûte, c'est-à-dire pour les voûtes non surélevées depuis la face supérieure du chapiteau ou bien depuis l'imposte ["Kämpfergesims"]. Cette hauteur est nécessaire pour déterminer l'épaisseur du piédroit8. Ce qui a été déclaré dans le paragraphe précédent sur la précision de la détermination de $h$ s'applique également ici pour $z$.
$\Ho{} =$ Poussée horizontale ["Horizontalschub"] par mètre carré en plan au sol de la partie de voûte s'appuyant sur le piédroit (par exemple une "Jochhälfte" [non traduit]). En ce qui concerne les fluctuations possibles, deux valeurs sont indiquées, la plus grande étant valable plus pour les petites voûtes, la plus petite étant valable plus pour les grandes voûtes9.
Il est intéressant de comparer le rapport de la poussée $\Ho $ au poids $\Vo $ pour des voûtes de différentes hauteurs.
D'après la table on trouve en moyenne :
Pour un rapport flèche/portée $1:8$ - rapport poussée/poids d'une demi-voûte de $2:1$
Pour un rapport flèche/portée $1:3$ - rapport poussée/poids d'une demi-voûte de $3:4$
Pour un rapport flèche/portée $1:2$ - rapport poussée/poids d'une demi-voûte de $3:7$
Pour un rapport flèche/portée $2:3$ - rapport poussée/poids d'une demi-voûte de [chiffre manquant, probablement $1:3$]
Pour un rapport flèche/portée $5:6$ - rapport poussée/poids d'une demi-voûte de [chiffre manquant, probablement $1:4$]
Pour les estimations superficielles, [... texte manquant] de l'ordre de 2/3 de la flèche [... texte manquant] à attendre, qui est environ égal à 1/3 du poids de la voûte considérée (d'une moitié) et qui se produit ["übertritt"] dans le mur à environ 1/4 de la flèche.
Dans les dernières colonnes de la table sont calculés comme exemple les poids et poussées pour deux voûtes d'ogives ["Kreuzgewölbe"] de 4x4m et de 8x8m de grandeur, sous l'hypothèse qu'à un piédroit (voir $C$ sur la figure 366) deux travées contiguës se rencontrent. L'aire de charge $m n r p$ correspond alors à une demi-voûte.
La poussée sur un coin $D$ du mur (fig. 366) est engendrée à travers la partie de voûte $p r q D$ qui est plus petite, et est par conséquent beaucoup plus faible. Faire l'hypothèse que la poussée dans les deux directions $D k$ et $D g$ vaut la moitié de la poussée au point $C$ donne d'assez bons résultats. Au lieu des poussées sur les côtés $D k$ et $D g$, on peut naturellement introduire la poussée $D d$ selon la diagonale dans la direction de l'ogive. Cette dernière est elle-aussi [toujours] plus petite que la poussée au point $C$ (7:10).
Pour les travées rectangulaires (fig. 367), la poussée est différente aux points $C$ et $E$. Sur ces deux points pèse il est vrai une demi-travée $m n p r$ respectivement $r t q u$, mais les portées $CF$ et $EF$ sont inégales. Par conséquent, la voûte [à flèche égale] a dans le sens de la plus courte portée un ratio flèche/portée plus grand, et ainsi une poussée plus faible. Pour les voûtes d'ogives plates ["nicht überhöhten Gewölben"] la direction de poussée dans le coin $D$ tombe également sur la diagonale. La table ne donne plus de valeurs précises pour les travées très allongées. Le poids et la poussée seront un peu trop petits dans la direction longitudinale, et beaucoup trop grands dans la direction transversale10. On peut tout compte fait utiliser la table pour les travées faiblement rectangulaires mais pas trop éloignées de la travée carrée, en prenant pour le [calcul du] ratio flèche/portée la portée de la travée dans la direction de la poussée à examiner.
Fig 3: Figures 366 et 367 tirées de Ungewitter et Mohrmann [4]
numérisé par Google
les chiffres en bleu indiquent les annotations d'origine illisibles

Vocabulaire

Le vocabulaire technique nécessaire à la compréhension du texte original est donné ci-dessous.
Allemand Français
Gesims Corniche
Kämpfer imposte
Zwickel Ecoinçon
Strebebogen arc-boutant
Bogen arc
Bogenlaibung intrados
Bogenrücken extrados
gestelzten Bogen arc surélevé
Gewölberippe nervure
Gurtbogen Arc-doubleau
Rippe nervure
Scheitel clé
Schildbogen Arc-formeret
Ziegelrippe nervure en brique
Bogenglieder nervure
Pfeilhöhe des Bogens Flèche d'un arc
Spannweite, Spannung portée
Gewölbe voûte
Klostergewölbe voûte en arc-de-cloitre
Kreuzgewölbe voûte d'arêtes
Kreuzrippengewölbe voûte d'ogives
Tonnengewölbe voûte en berceau
Hintermauerung
Kappe voûtain
Bruchstein Moellon
Kalkmörtel mortier de chaux
Werkstein pierre de taille
Ziegel brique
Stützlinien Lignes de pression
Schübe poussées
Widerlagsdruck force-oblique
Pfeiler pilier
Widerlager piédroit

Article mis en ligne le : 22/06/2012.
Révisé le : 03/07/2012.

Bibliographie

[1]
J.  HEYMAN : The Stone Skeleton: Structural Engineering of Masonry Architecture. Cambridge University Press, 1995.
[2]
A.  OIKONOMOPOULOU : Approches numériques pour l'étude du comportement des structures maçonnées anciennes : un outil basé sur le calcul à la rupture et la visualisation graphique. Thèse de doctorat, Université Paris-Est ENSA Paris La Villette, Paris, déc. 2009.
[3]
J. Pérouse de MONTCLOS : Architecture : méthode et vocabulaire. Impr. nationale : Ed. du patrimoine, Paris, 6e édn, 2007.
[4]
G. G. UNGEWITTER et K.  MOHRMANN : Lehrbuch der gotischen Konstruktionen, vol. 1. Tauchnitz, Leipzig, 4e édn, 1901.

Notes:

1 du premier volume de la 4e édition de 1901
2 Le terme Kreuzgewölbe, qui fait référence en français à voûte d'arête, est employé ici vraisemblablement à la fois pour les voûtes d'arêtes ["Kreuzgewölbe"] et pour les voûtes d'ogives ["Kreuzrippengewölbe"]. Dans la suite nous traduisons Kreuzgewölbe par "voûte d'ogives" pour simplifier.
3 Concernant les différentes définitions du terme ligne de pression, voir la thèse de Oikonomopoulou (2009) [2]
4 Les voûte concernées ici sont donc les voûtes d'ogives (et ou d'arêtes) plates. Les voûtes d'ogives (ou d'arêtes) plates sont définies par Pérouse de Montclos [3] comme suit : "Voûte d'arêtes dont les quartiers ont leur ligne de faîte dans le même plan horizontal".
5 Mohrmann indique donc ici que $h$ est compris entre deux bornes. Il est possible de relier ces bornes aux concepts de poussée passive et poussée active. Lorsque $h$ atteint sa borne supérieure, nous sommes en présence de la poussée passive. Lorsque $h$ atteint sa borne inférieure, nous sommes en présence de la poussée active.
6 Les poussées données par Mohrmann dans la table 1 sont donc par sécurité légèrement supérieures à la poussée passive, qui est la poussée minimale assurant la stabilité de la voûte.
7 "Widerlagsdruck" désigne chez Mohrmann ([4,p132]) la résultante des forces appliquée par la voûte sur son support. Cette force est la résultante de la poussée et du poids de la partie de voûte considérée.
8 La point d'application de la poussée d'une voûte pour la vérification de la stabilité du piédroit n'est pas située au niveau des naissances, mais au dessus de ces dernières. $z$ définit ce niveau.
9 Ces deux valeurs ne font donc pas référence aux poussées actives ou passives, mais sont liées à la grandeur de la voûte.
10 Afin d'illustrer cette limite d'utilisation de la table, on peut considérer une voûte de type a, de 8m de flèche couvrant une travée de 16x8m. Dans le sens de la grande portée on lit dans la table $V_{0}$=260kg/m2 ($III$. Pfeilverhältnis $1:2$), et dans le sens de la petite portée $V_{0}$=340kg/m2 ($V$. Pfeilverhältnis $5:6$ bis 1). Etant donné que ces chiffres sont à multiplier par la même aire ${{1}\over{2}}\cdot 8\cdot 16=64$m2, on obtient alors des poids différents pour un même objet (une demi-voûte).