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17 novembre 2012

Mémoire sur le calcul des voûtes circulaires - Petit 1835

1  Introduction

Petit publie en 1835 son Mémoire sur le calcul des voûtes circulaires dans le Mémorial de l'officier du génie [5]. Il accompagne ce mémoire de tableaux permettant le calcul des poussées des voûtes en berceau, et le calcul des épaisseurs des piédroits qui supportent ces voûtes. Les tableaux de Petit semblent avoir connu un certain succès, et sont repris par plusieurs auteurs au XIXe siècle dans des cours généralistes sur la construction : Claudel (1857 [1], 1864 [2, p.1098-1106] etc.), Demanet (1861 [3, p.515 et suivantes])...
Les tableaux de Petit sont particulièrement simples d'utilisation. Nous allons montrer ci-dessous comment les utiliser pour calculer rapidement la poussée d'une voûte en berceau. Nous verrons également à quoi correspond la poussée calculée du point de vue du calcul à la rupture.
Nous reprenons ci-dessous les tableaux et notations tels que présentés par Demanet (1861 [3]).

2  Présentation des tableaux

2.1  Typologies, notations, hypothèses

Petit considère plusieurs types de voûtes en berceau :
  • voûtes en plein cintre, à extrados parallèle ;
  • voûtes en plein cintre, extradossées en chape à 45o ;
  • voûtes en plein cintre, à extrados de niveau ;
  • voûtes en arc de cercle, extradossées parallèlement.
La géométrie de ces voûtes est illustrée plus bas sur des exemples. Les notations utilisées dans la suite sont :
  • $r$ : rayon de l'intrados (rayon intérieur)
  • $R$ : rayon de l'extrados (rayon extérieur)
  • $K=R/r$ : rapport entre le rayon de l'extrados et de l'intrados, utilisé comme paramètre principal des tableaux
  • $h$ : hauteur du piédroit
Les tableaux sont basés sur les hypothèses suivantes :
  • la résistance de la maçonnerie à la traction est nulle ;
  • la résistance de la maçonnerie à la traction est infinie ;
  • l'angle de glissement de la maçonnerie est égal à 30o ;
  • le poids volumique est constant (voûte, chape, et piédroits). La hauteur de la chape doit donc être adaptée si le poids volumique de cette dernière est différente de celle de la maçonnerie.
Petit considère donc l'éventualité du glissement entre les claveaux. L'angle de 30o retenu par Petit est tiré des expériences rapportées par Rondelet. Les modes de ruines correspondant aux poussées indiquées par Petit sont celles liées à la formation de mécanisme par création de rotules ou apparition de glissements.
Les tableaux ont été construits par Petit après résolution analytique des systèmes étudiés. Les illustrations que nous proposons plus bas sont tirées d'un logiciel réalisant une résolution discrète, par découpage de la voûte en blocs. Cette dernière méthode ne correspond pas à la résolution analytique de Petit. Nous l'utilisons ici pour présenter une représentation graphique de chacune des situations étudiées.

2.2  Résultats contenus dans les tableaux

Les tableaux donnent les informations suivantes :
  • Poussée minimale $P$ de la voûte. Cette valeur est donnée sans unité. Il faut la multiplier par la masse volumique et par la profondeur de la tranche de voûte considérée, pour obtenir le résultat voulu.
  • Angle de rupture $z$, compté depuis la verticale, correspondant à la position de la rotule ou du glissement liée à la poussée minimale.
  • Epaisseur $x$ à donner au piédroit de la voûte. Petit donne deux épaisseurs : l'épaisseur critique, et l'épaisseur de La Hire ou de Vauban.
A partir du rapport $K=R/r$, Petit donne dans ses tableaux un facteur $C$ qui permet de calculer la poussée minimale $P$. Il faut choisir dans les tables la valeur du facteur $C$ la plus forte, car Petit étudie à la fois les mécanismes de ruine par formation de rotules, et ceux par glissement. Les mécanismes de ruine par glissement sont exclus du calcul à la rupture classique, et ne seront de toute façon généralement pas dimensionnant pour les cas pratiques pour les édifices. La poussée vaut alors : \begin{align} P=Cr^{2} \end{align}
L'épaisseur limite du piédroit est calculée par Petit en fonction de la poussée $P$ en écrivant l'équilibre des moments, et en supposant qu'une rotule se forme au pied du piédroit à l'extérieur. Petit suppose que le piédroit se comporte comme un bloc rigide. Il donne une longue formule (non reproduite ici) qui donne la valeur exacte de l'épaisseur du piédroit, et note que l'épaisseur limite du piédroit tend vers une valeur finie lorsque la hauteur $h$ tend vers l'infini. Pour $h=\infty $, la formule de la valeur critique de $x$ se simplifie ainsi : \begin{align} x=\sqrt{2C}r \end{align} Demanet ajoute que cette épaisseur est une épaisseur critique, et qu'il faut multiplier le facteur $2C$ par un coefficient de stabilité $\mu=1,90$ pour retrouver des valeurs comparables à celles des formules de la Hire "qui jusqu'à présent ont été trouvées très convenables par les constructeurs". Pour $h=\infty $, la formule de la valeur de $x$ avec marge de sécurité se simplifie ainsi : \begin{align} x=\sqrt{3,8C}r \end{align}
Enfin, Petit remplace $\sqrt{3,8C}$ par $\sqrt{4,0C}$ dans le cas des voûtes avec chape.

2.3  Réinterprétation

Avant de donner des exemples d'utilisation des tableaux et des formules de Petit, il est intéressant de réinterpréter les résultats que nous allons obtenir à partir des concepts du calcul à la rupture.
Petit donne dans son mémoire la valeur minimale de $K$ pour qu'une voûte en plein cintre à extrados parallèle soit stable : $K_{crit}=1,114$. Pour les $K$ supérieurs à cette valeur, on sait donc que le coefficient de sécurité géométrique vaut au moins $1{,}00$, mais on ne connait pas sa valeur exacte. La poussée $P$ donnée par Petit correspond à la poussée passive, ou poussée minimale, pour un coefficient de sécurité géométrique de $1{,}00$, dans le cas où il n'y a pas de glissement. Nous reviendrons dans un prochain article sur les poussées actives et passives, et sur les coefficients de sécurités.
Petit donne également la valeur de la poussée $P$ pour des valeurs de $K$ inférieures à $K_{crit}$. Pour ces valeurs de $K$ la ligne des pressions correspondant à la poussée $P$ donnée par Petit correspond à une ligne des pressions extérieure à la maçonnerie au niveau des naissances de la voûte (Fig. 1).
Fig 1: Ligne des pressions correspondant à la poussée indiquée par Petit pour $K$=1,05
Nous reviendrons plus en détail dans un prochain article sur la stabilité des piédroits. Nous pouvons noter pour le moment que :
  • Les formules données ci-dessus sont conservatives1, car on a pris $h=\infty $. Elles ne sont donc pas adaptées à la vérification du dimensionnement des ouvrages. Elles permettaient par contre de définir de nouveaux ouvrages.
  • L'hypothèse du piédroit se comportant comme un bloc rigide n'est pas correcte, comme l'a montré Ochsendorf (2002 [4]). Il faudrait prendre en compte la création d'une ligne de fracture dans le piédroit, qui diminue la masse du piédroit contribuant à sa propre stabilité. Néanmoins, le facteur de sécurité $\mu=1,90$ permet probablement de se placer dans des conditions où cette fracture ne se produit pas.

3  Exemples d'application du calcul des poussées

3.1  Voûte en plein cintre, extradossée parallèlement

Mécanisme avec rotule dimensionnant   Nous reprenons ici la première partie de l'exemple 701 de Demanet. Si on considère une tranche de voûte de 1ml, avec $r = 2,50$m et $R = 3,00$m, soit $K=1,2$, le tableau donne $C=0.11140$, et $P=C r^{2}=0,69625$2.
Il reste à multiplier cette valeur par la masse volumique et la profondeur de la voûte considérée pour obtenir la poussée. Par exemple pour $\rho $ = 2400kg/m3 et une tranche de voûte de 1m00, on a $P=0,69625 \times 2400 \times 1,00=1671$kg
Fig 2: Ligne des pressions et mécanisme pour exemple 701 de Demanet
$K=1,20$ - Cas avec rotules
Voûte en plein cintre, extradossée parallèlement
L'épaisseur théorique du piédroit (pour un piédroit de hauteur infinie) est pour cet exemple $x=\sqrt{2C}=0,4720 \times 2,5 = 1,18$m. L'épaisseur de la Hire est $x=\sqrt{3,8C}=0,6504 \times 2,5 = 1,63$m. La figure 3 présente la voûte, avec un piédoit de 1,18m. Comme le piédroit n'est pas de hauteur infinie, on voit qu'il reste une marge de sécurité en pied.
Fig 3: Ligne des pressions pour exemple 701 de Demanet
$K=1,20$ - Cas avec rotules
Voûte en plein cintre, extradossée parallèlement
Mécanisme avec glissement dimensionnant   Nous reprenons ici la seconde partie de l'exemple 701 de Demanet. Si on considère une tranche de voûte de 1ml, avec $r = 2,50$m et $r = 3,75$m, soit $K=1,50$, le tableau donne $C=0,17254$ soit $P=C r^{2}=1,078375$ pour une rupture avec formation de rotules, et $C=0,19130$ soit $P=C r^{2}=1,195625$ pour une rupture avec apparition du glissemement.
Il reste à multiplier cette valeur par la masse volumique et la profondeur de la voûte considérée pour obtenir la poussée. Par exemple pour $\rho= 2400$kg/m3 et une tranche de voûte de 1m00, on a $P=1,078476 \times 2400 \times 1,00=2588$kg dans le cas avec rotules et $P=1,195625 \times 2400 \times 1,00=2870$kg
Fig 4: Ligne des pressions et mécanisme pour exemple 701 de Demanet
$K=1,50$ - Cas avec rotules
Voûte en plein cintre, extradossée parallèlement
Fig 5: Ligne des pressions et mécanisme pour exemple 701 de Demanet
$K=1,50$ - Cas avec glissement
Voûte en plein cintre, extradossée parallèlement
Epaisseur limite du piédroit   Nous reprenons ici la seconde partie de l'exemple 709 de Demanet. Si on considère une tranche de voûte de 1ml, avec $r = 4,00$m et $r =5,00$m, soit $K=1,25$, le tableau donne $C=0,12847$ soit $x=\sqrt{2C}r=2,03$m pour une l'épaisseur ou $x=\sqrt{3,8C}r=2,79$m pour l'épaisseur.

3.2  Voûte en plein cintre, extradossées en chape à 45°

Exemple   Si on considère une tranche de voûte de 1ml, avec $r = 2,50$m et $r = 3,00$m, soit $K=1,20$, le tableau donne $C=0,25806$, et $P=C r^{2}=1,612875$.
Fig 6: Ligne des pressions et mécanisme
$K=1,20$ - Cas avec rotules
Voûte en plein cintre, extradossées en chape à 45°

3.3  Voûte en plein cintre, à extrados de niveau

Exemple   Si on considère une tranche de voûte de 1ml, avec $r = 2,50$m et $r = 3,00$m, soit $K=1,2$, le tableau donne $C=0,13073$, et $P=C r^{2}=0,81706$.
Fig 7: Ligne des pressions et mécanisme
$K=1,20$ - Cas avec rotules
Voûte en plein cintre, à extrados de niveau

3.4  Voûte en arc de cercle, extradossée parallèlement

On pose en plus des notations déjà connues :
  • $L$ : ouverture ou portée de l'arc
  • $f$ : flèche de l'arc
  • $\alpha $ : demi-angle au centre
On a alors $r=\frac{f}{2}(\frac{L^{2}}{4f^{2}}+1)$ et $\sin(\alpha) = \frac{L}{2r}$.
Exemple 1   On considère une voûte en arc de cercle définie par $L=4,00$m, $f=1,00$m, et une épaisseur de 0,50m. On trouve alors que $r=2,50$m, $R=3,00$m, $K=1,20$, et $\alpha=53,13$°. Sachant que $L/f=4$, on lit dans la table que $C=0,11023$. La poussée vaut alors $P=Cr^{2}=0,68894$.
Exemple 2   On considère une voûte en arc de cercle définie par $L=5,00$m, $f=0,50$m, et une épaisseur de 0,20m. On trouve alors que $r=6,50$m, $R=6,70$ m, $K=1,03$, et $\alpha=22,62$°. Sachant que $L/f=10$, on lit dans la table que $C=0,02131$. La poussée vaut alors $P=Cr^{2}=0,90034$.
Fig 8: Ligne des pressions et mécanisme
$K=1,20$
Voûte en arc de cercle, extradossée parallèlement
Fig 9: Ligne des pressions et mécanisme
$K=1,03$
Voûte en arc de cercle, extradossée parallèlement

4  Conclusion

Nous reproduisons ci-dessous les tableaux de Petit (1835 [5]), tels que donnés par Demanet (1861 [3]). L'ensemble des livres correspondant sont à la date de rédaction de cet article disponibles sur Google Books.
Nous avons vu que ces tableaux permettent de calculer rapidement les poussées passives des voûtes en berceau. Cependant, ils n'apportent aucune information sur le coefficient de sécurité géométrique de la voûte étudiée.
Fig 10: Demanet1861TabA
scanné par Google
Fig 11: Demanet1861TabC
scanné par Google
Fig 12: Demanet1861TabD
scanné par Google
Fig 13: Claudel1864TabE3
 
Article mis en ligne le : 17/11/2012.

Bibliographie

[1]
J.  CLAUDEL : Formules, tables et renseignements pratiques ; aide-mémoire des ingénieurs, des architectes, etc. Victor Dalmont, Paris, 4e édn, 1857.
[2]
J.  CLAUDEL : Formules, tables et renseignements usuels ; aide-mémoire des ingénieurs, des architectes, etc. Victor Dalmont, Paris, 6e édn, 1864.
[3]
A.  DEMANET : Cours de construction, vol. 1. E. Lacroix, Paris, 2e édn, 1861.
[4]
J. A. OCHSENDORF : Collapse of Masonry Structures. Thèse de doctorat, King's College, Cambridge, 2002.
[5]
PETIT : Mémoire sur le calcul des voûtes circulaires. In Mémorial de l'officier du génie, num.  12, p. 73-150. de Fain, Paris, 1835.

Notes:

1 Nous nous plaçons ici dans le cadre de la sécurité telle qu'envisagé par petit, avec son facteur de sécurité $\mu =1,90$ sur la poussée.
2 Il semble qu'il y ait une erreur pour ce résultat dans l'exemple de Demanet, qui donne $P=0,071255$
3 On a substitué la reproduction tiré du livre de Claudel de 1864 à celle de Demanet, dont certains chiffres ne sont pas lisibles.