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20 février 2013

Poids des statues en pierre

1  Introduction

Lorsqu'il n'est pas possible de les peser, le poids des statues en pierre peut être calculé suivant leur forme. Les statues de forme humaine sont les plus faciles à étudier. Nous décrivons ici une méthode utilisant les propriétés du corps humain en terme de poids volumique et de volume, pour en déduire le volume puis le poids d'une statue de forme humaine. Si cette méthode n'est pas très précise, elle a cependant le mérite d'être simple et rapide à appliquer. Nous proposerons un exemple de calcul avec le David de Michel-Ange.
Pour les statues de forme quelconque, il existe une autre méthode plus générale, mais plus longue à appliquer. Elle utilise la photogrammétrie pour déterminer le volume de la statue puis son poids. Nous évoquerons rapidement cette méthode dans un second temps.
Les méthodes présentées dans cet article sont limitées au cas des statues pleines, en un seul matériau.

2  Méthode de l'indice de masse corporelle

2.1  Principe

Lorsque la statue représente un homme ou une femme nue, la méthode la plus rapide pour estimer le poids de la statue est d'utiliser l'indice de masse corporelle, noté IMC dans la suite (Body Mass Index en anglais).
L'indice de masse corporelle est défini comme le rapport de la masse d'un individu (en kg) sur la taille (en m) au carré : $IMC=\frac{M}{h^2}$. Cet indice est un critère rapide (mais qui a évidemment des limites) pour juger du poids d'une personne par rapport à la moyenne statistique :
  • inférieur à 16,5 dénutrition ou famine
  • 16,5 à 18,5 maigreur
  • 18,5 à 25 corpulence normale
  • 25 à 30 surpoids
  • 30 à 35 obésité modérée
  • 35 à 40 obésité sévère
  • plus de 40 obésité morbide ou massive
En estimant l'indice de masse corporelle, on peut donc calculer le poids de l'équivalent humain de la statue, ce qui va permettre ensuite d'en déduire le poids de la statue elle-même.

2.2  Etapes du calcul

Cas général   Il suffit pour calculer le poids de la statue de mettre face à face les caractéristiques de la statue, et celle d'une personne équivalente :
  1. Masse volumique : $\rho $ pour la statue, et environ 1063kg/m3 pour la personne équivalente1.
  2. Hauteur en mètre : $h$ pour la statue, et $\overline{h}$ compris entre 1m60 et 2m00 pour la personne équivalente. La hauteur $h$ doit correspondre à la taille du personnage/statue, et il faut donc corriger cette dernière si la posture de la statue n'est pas bien droite (contrapposto, personnage courbé etc.).
  3. Indice de masse corporelle $IMC$ pour la personne équivalente.
On en déduit que le volume de base du corps de la statue vaut $V = IMC \times \overline{h}^{2} \times \left(\frac{h}{\overline{h}}\right)^{3} \times \frac{1}{1063}$. Il faut ajouter à ce volume celui correspondant aux éventuels accessoires et décors de manière à obtenir le volume total de la statue : $V_{tot}$. Le piédestal, dont la nature ne correspond pas nécessairement à celle de la statue (parfois vide, ou en un matériau différent), ne devrait pas être pris en compte dans le volume total, mais calculé séparément.
On en déduit finalement le poids de la statue $M=\rho\times V_{tot}$.
Segments de corps   Il est possible de tenir compte des segments de corps manquants (on pense naturellement ici à la Venus de Milo). Il existe des équations pour déterminer les caractéristiques de l'ensemble des segments du corps à partir d'un ensemble de mesures, du type tour de taille, tour de tête etc.2. Nous proposons de simplifier cette approche en utilisant des pourcentages forfaitaires, moins précis, mais tout à fait satisfaisant pour cette méthode. Ces pourcentages sont tirés des données réunies par Drillis et Contini (1968 [3]), tels que rapportées par Clauser et al. (1969 [2]). On donne ci-dessous successivement le volume en pourcentage du volume total du corps, le poids en pourcentage du poids total du corps, et la densité en kg/m3, sous la forme $V$ [%] / $M$ [%] / $\rho $ [kg/m3]
  • Tête, cou et tronc : - / 58,04 / -
  • Tête3 : ~7,2 / ~7,5 / -
  • Bras complet : 5,73 / 5,97 / -
  • Partie haute du bras : 3,495 / 3,57 / 1086
  • Avant-bras et main : - / 2,40 / -
  • Avant-bras : 1,702 / 1,80 / 1127
  • Main : 0,566 / 0,6 / 1148
  • Jambe complète : 14,620 / 15,01 / -
  • Cuisse : 9,241 / 9,46 / 1089
  • Mollet et pied : 5,3804 / 5,55 / -
  • Mollet : 4,083 / 4,20 / 1095
  • Pied : 1,297 / 1,35 / 1107
Les pourcentages donnés ci-dessus permettent donc de réviser le volume total de la statue $V_{tot}$ suivant les membres manquants. Ils permettent également d'estimer rapidement le volume d'objets en les comparant à des parties du corps. Il suffit alors d'ajouter au volume total de la statue $V_{tot}$ la fraction du volume du membre correspondant. Nous verrons un exemple ci-dessous.
Il serait possible d'étendre cette méthode aux anges, mais il faudrait pour cela calculer le volume relatif de différentes typologies d'ailes pour servir de point de départ à ce nouveau calcul.
Cheveux   Les cheveux ne sont pas pris en compte dans les calculs de poids des personnes, car leur masse volumique et leur volume est très faible devant le poids volumique général et le volume des personnes. Cependant dans le cas de la sculpture, il faut tenir compte du fait que le poids volumique des cheveux de la statue est le même que pour celui du corps. Nous proposons de tenir compte de ce détail en exprimant le volume des cheveux en pourcentage du volume de la tête (Voir l'exemple ci-dessous avec la statue de David).

2.3  Limitations

Il faudra tenir compte des limitations suivantes pour cette méthode :
  • L'indice de masse corporelle utilisé ici n'est valable que pour les adultes.
  • L'indice de masse corporelle est biaisé avec les adultes ayant une forte musculature, qui peuvent avoir un IMC de "surpoids" sans pour autant l'être. Par exemple l'IMC du Hercule Farnese pourrait valoir environ 26-27, ce qui correspond à une personne en "surpoids" suivant l'IMC (Fig. 1), alors que cet Hercules ne souffre apparemment pas de surpoids. Il peut être utile, voir nécessaire, de demander l'avis d'un médecin pour estimer l'IMC, ce qui en soit constitue une limite de cette méthode.
  • Dans le cas d'une statue vêtue d'un large drapé, la méthode ci-dessus ne s'applique plus. Si les vêtements épousent les contours du corps, il est possible de faire une grossière approximation en augmentant l'IMC pris pour le calcul.
  • Les statues ont des proportions idéalisées propres à un système représentatif (canons). Ces proportions sont proches de celles du corps humain, mais elles peuvent s'en écarter. La méthode utilisant l'IMC sera donc plus ou moins précise suivant les différents courants artistiques. De plus les proportions du corps humain peuvent varier suivant les continents. Par exemple Clauser mentionne une étude qui indique que les proportions des membres des pilotes d'avion américains et japonais ne sont pas les mêmes (Clauser 1969 [2, p.11]).
Fig 1: Hercule Farnese - Collection Farnese
Photo de Marie-Lan Nguyen / Wikimedia Commons / CC

2.4  Exemple

David de Michel-Ange   Cette statue, sculpté entre 1501 et 1504 par Michel-Ange, représente un jeune homme de pied, nu, de 4m97 de haut5 (5m17 en comptant le rocher sculpté sur lequel se tient David, mais sans le piédestal).
Fig 2: David de Michel-Ange - Galleria dell'Accademia de Florence
Photo de Rico Heil / Wikimedia Commons / GNU-FDL
En jugeant que David se trouve dans la fourchette de l'IMC correspondant à une corpulence normale, nous prenons $IMC$=22. Sachant que $h$=4m97 et en prenant $\overline{h}$=1m75, la formule décrite ci-dessus donne pour le corps de David le volume $V$=1,45m3. On ajoute ensuite à ce volume le volume des autres éléments composant la statue :
  • La souche d'arbre correspond environ au volume d'une jambe entière, soit 15% du volume du corps à ajouter (0,22m3)
  • Le rocher sur lequel se tient David est estimé à environ 1,47x1,09x0,29=0,46m3. Il ne faut pas confondre ce rocher avec le piédestal, que nous ne prenons pas en compte dans cet exemple.
  • Le volume des cheveux correspond environ à un tiers du volume de la tête sans cheveux, soit un tiers de 7,5% du volume du corps à ajouter (0,035m3)
  • La fronde correspond environ au volume d'une main, soit 0,6% du volume du corps (0,009m3)
Le volume total de la statue de David calculé ainsi est $V_{tot}$=2,17m3.
En prenant comme masse volumique du marbre 2700kg/m3 on trouve alors que la statue hors piédestal pèse 5867kg. En considérant seulement l'incertitude sur l'$IMC$ (22 compris entre 18,5 et 25), l'incertitude sur ce résultat est au moins de $\pm $14%. Les cheveux et la fronde de la statue, qui représentent environ 2% du poids total de la statue auraient pu être négligés, vu l'incertitude régnant de toute façon sur l'IMC.
La réponse définitive à la question du poids de David se trouve dans le chapitre de Scopigno et Cignoni de Exploring David: Diagnostic Tests and State of Conservation (2004 [7]). Ce chapitre traite de l'exploitation du modèle 3D extrêmement précis réalisé lors d'un relevé laser en 1999 (voir le modèle de David de Stanford et la page d'accueil du projet correspondant). Scopigno et Cignoni indiquent que le volume de la statue est 2,098m3, pour un poids de 5660kg (hors piédestal). La méthode que nous avons proposé permet donc une bonne approximation du poids de la statue de David (4% d'erreur ici), mais dépend grandement du choix correct de l'IMC. Pour conclure cet exemple, remarquons que nous n'avons pas calculé d'estimation du poids du piédestal. Borri et Grazini donnent un poids de 9300 kg pour la statue et le piédestal (2006 [1]).

3  Photogrammétrie

Lorsque la méthode précédente ne s'applique pas, il est possible de déterminer le volume de la statue, puis d'en déduire son poids, en utilisant la photogrammétrie. L'utilisation de la photogrammétrie pour déterminer le volume d'un corps n'est pas nouvelle, et elle est notamment utilisée en milieu hospitalier (Pirker et al. 2009 [6]).
Pour ce faire, il faut commencer par construire un nuage de point de la statue, puis le maillage correspondant (voir notre tutorial sur visualSFM et Meshlab à ce sujet). L'algorithme de construction Poisson, qui permet de produire relativement facilement des maillages fermés est bien adapté à la création de ce type de maillage. Meshlab permet ensuite de calculer le volume intérieur du maillage, en appliquant le filtre Quality mesures and computations / Compute geometric mesures.
Nous avons détaillé ce procédé dans un précédent article sur le calcul du volume d'un maillage, en prenant pour exemple la statue l'Ecoute de Henri de Miller (voir figures ci-dessous). Une fois le volume calculé par MeshLab, le poids de la statue s'en déduit facilement.
Fig 3: L'Ecoute - Henri de Miller - 1986
photo du CMP - IS-3D
Fig 4: Modèle 3D dont on peut déduire le volume avec MeshLab

4  Conclusion

Le calcul du poids d'une statue en pierre de forme humaine peut donc être calculée soit par approximation en utilisant l'indice de masse corporelle, soit de façon plus précise et générale en utilisant la photogrammétrie.
Il reste à remarquer ici que les méthodes précédentes ne s'appliquent qu'à des statues pleines, mais que la seconde méthode est adaptable aux statues creuses.
 
Article mis en ligne le : 20/02/2013.
Révisé le : 21/02/2013.

Bibliographie

[1]
A.  BORRI et A.  GRAZINI : Diagnostic analysis of the lesions and stability of michelangelo's david. Journal of Cultural Heritage, 7(4): 273-285, oct. 2006.
[2]
C. E. CLAUSER, J. T. MCCONVILLE et J. W. YOUNG : Weight, volume, and center of mass of segments of the human body. Rap. tech. AD-710 622, Air Force Systems Command Wright- Patterson Air Force Base, Ohio, août 1969.
[3]
R.  DRILLIS et R.  CONTINI : Body segment parameters. Rap. tech. 1166-03, N.Y. University School of Eng. and Sci., Department of Health, Education and Welfare, Office of Vocational Rehabilitation, New York, 1968.
[4]
H.  HATZE : A model for the computational determination of parameter values of anthropomorphic segments. 1979.
[5]
H.  HATZE : A mathematical model for the computational determination of parameter values of anthropomorphic segments. Journal of Biomechanics, 13(10): 833-843, 1980.
[6]
K.  PIRKER, M.  RüTHER, H.  BISCHOF, F.  SKRABAL et G.  PICHLER : Human body volume estimation in a clinical environment. In Challenges in the Biosciences : Image Analysis and Pattern Recognition Aspects, Stainz, Autriche, 2009. Austrian Computer Society.
[7]
R.  SCOPIGNO et P.  CIGNONI : Making profitable use of the digital 3D model in the david's restoration. In Exploring David: Diagnostic Tests and State of Conservation. Giunti Editore, 2004.

Notes:

1 La valeur de 1063kg/m3 est tirée de Clauser et al. (1969 [2]) et correspond à un jeune homme en bonne santé. Il y a des différences entre la masse volumique du corps complet et la masse volumique des différents segments de corps (body segments), et il faudrait tenir compte de la différence de masse volumique pour les personnes maigres, qui est plus importante que celle des personnes obèses. Nous négligerons ces différences dans la suite.
2 A titre d'exemple, Hatze propose des équations qui nécessitent la mesure de 242 dimensions (1979 [4] - article non consulté, mais mentionné dans Hatze 1980 [5] qui compare les résultats obtenus avec ces formules à des mesures sur des personnes réelles)
3 Cette donnée ne fait pas partie des résultats de Drillis et Contini (1968 [3]) et est donnée à titre indicatif.
4 Valeur non indiquée par Clauser et al. mais déduite de la valeur du mollet et du pied.
5 La statue a fait l'objet d'une campagne de relevés 3D en 1999. Ces relevés ont révélés une importante erreur d'environ 80cm dans les anciennes mesures disponibles de la taille de la statue : David height.