Poids des statues en pierre

1  Introduction

Lorsqu'il n'est pas possible de les peser, le poids des statues en pierre peut être calculé suivant leur forme. Les statues de forme humaine sont les plus faciles à étudier. Nous décrivons ici une méthode utilisant les propriétés du corps humain en terme de poids volumique et de volume, pour en déduire le volume puis le poids d'une statue de forme humaine. Si cette méthode n'est pas très précise, elle a cependant le mérite d'être simple et rapide à appliquer. Nous proposerons un exemple de calcul avec le David de Michel-Ange.

Pour les statues de forme quelconque, il existe une autre méthode plus générale, mais plus longue à appliquer. Elle utilise la photogrammétrie pour déterminer le volume de la statue puis son poids. Nous évoquerons rapidement cette méthode dans un second temps.

Les méthodes présentées dans cet article sont limitées au cas des statues pleines, en un seul matériau.

2  Méthode de l'indice de masse corporelle

2.1  Principe

Lorsque la statue représente un homme ou une femme nue, la méthode la plus rapide pour estimer le poids de la statue est d'utiliser l'indice de masse corporelle, noté IMC dans la suite (Body Mass Index en anglais).

L'indice de masse corporelle est défini comme le rapport de la masse d'un individu (en kg) sur la taille (en m) au carré : $IMC=\frac{M}{h^2}$. Cet indice est un critère rapide (mais qui a évidemment des limites) pour juger du poids d'une personne par rapport à la moyenne statistique :

• inférieur à 16,5 dénutrition ou famine
• 16,5 à 18,5 maigreur
• 18,5 à 25 corpulence normale
• 25 à 30 surpoids
• 30 à 35 obésité modérée
• 35 à 40 obésité sévère
• plus de 40 obésité morbide ou massive

En estimant l'indice de masse corporelle, on peut donc calculer le poids de l'équivalent humain de la statue, ce qui va permettre ensuite d'en déduire le poids de la statue elle-même.

2.2  Etapes du calcul

Cas général   Il suffit pour calculer le poids de la statue de mettre face à face les caractéristiques de la statue, et celle d'une personne équivalente :

1. Masse volumique : $\rho $ pour la statue, et environ 1063kg/m³ pour la personne équivalente¹.
2. Hauteur en mètre : $h$ pour la statue, et $\overline{h}$ compris entre 1m60 et 2m00 pour la personne équivalente. La hauteur $h$ doit correspondre à la taille du personnage/statue, et il faut donc corriger cette dernière si la posture de la statue n'est pas bien droite (contrapposto, personnage courbé etc.).
3. Indice de masse corporelle $IMC$ pour la personne équivalente.

On en déduit que le volume de base du corps de la statue vaut $V = IMC \times \overline{h}^{2} \times \left(\frac{h}{\overline{h}}\right)^{3} \times \frac{1}{1063}$. Il faut ajouter à ce volume celui correspondant aux éventuels accessoires et décors de manière à obtenir le volume total de la statue : $V_{tot}$. Le piédestal, dont la nature ne correspond pas nécessairement à celle de la statue (parfois vide, ou en un matériau différent), ne devrait pas être pris en compte dans le volume total, mais calculé séparément.

On en déduit finalement le poids de la statue $M=\rho\times V_{tot}$.

Calcul du volume d'un maillage

1  Introduction

En préparation d'un futur article sur le poids des statues en pierre, nous revenons aujourd'hui sur l'utilisation de la photogrammétrie pour créer des maillages. En effet une fois le maillage d'une statue créé, il est possible d'obtenir rapidement son volume avec Meshlab. Nous allons montrer ci-dessous comment obtenir cette valeur, en partant de photos.

Nous profiterons de cet exemple pour donner quelques illustrations de l'effet des paramètres des filtres qui permettent l'obtention du maillage. Notre objectif n'est pas de détailler le fonctionnement des algorithmes en jeu, mais simplement de partager quelques observations simples sur un exemple, pour aider au choix de ces paramètres pour les personnes qui ne sont pas familières avec ces algorithmes.

La statue prise considérée ici est l'Ecoute de Henri de Miller (1986), située au Jardin des Halles à Paris. Cette statue serait en grès de Bourgogne, et pèserait entre 50 et 70 tonnes selon les sources (insecula.com, paris.fr).

Nous utilisons dans la suite VisualSFM pour la création du nuage de point et Meshlab pour la création du maillage et le calcul du volume (voir notre article d'introduction à la photogrammétrie avec ces logiciels).

Fig 1: L'Ecoute - Henri de Miller - 1986
photo du CMP - IS-3D

Hourdis en auget avec entretoises coudées et fentons

1  Introduction

Nous avons vu l'apparition des solives métalliques à double T en France dans les années 1840 dans un article précédent. L'intervalle entre les solives métalliques, appelé entrevous, est souvent rempli par un hourdis en plâtre et plâtras sur un treillage métallique, constitué d'entretoises et fentons (ou côtes de vaches).

Fig 3: Treillage métallique d'un hourdis en auget - A. solive B. entretoise C. fentons
d'après Jolly et Joly (1863 [3])
scanné par la BNF

Les lambourdes de plancher sont généralement installées perpendiculairement aux solives, et reportent une grande partie des surcharges d'exploitation directement sur ces dernières. Il arrive cependant que les charges du plancher soient portées directement par les hourdis, qui doivent alors retransmettre ces charges aux solives métalliques. Il faut dans ce cas étudier à la fois la capacité portante des solives métalliques, et celle du hourdis.

Nous allons nous intéresser dans cet article spécifiquement aux hourdis en auget, comprenant des entretoises coudées et des fentons métalliques (Fig. 3), et réalisé en plâtre et plâtras. Si ce système n'est pas et de loin le seul système constructif pour ces hourdis en auget, il est néanmoins très répandu.

Nous allons voir dans cet article la façon dont sont présentés les hourdis dans la littérature de la fin du XIX^e siècle. Nous verrons ensuite s'il est possible de déterminer le fonctionnement structurel de ces hourdis.

2  Historique

Les hourdis en auget avec entretoises coudées et fentons métalliques (Fig. 3 ci-dessus - appelé notamment système Roussel) est un des multiples systèmes d'hourdis mis au point dans les années 1850 pour permettre l'utilisation des nouvelles solives à double T (voir Chapron 1860 [1] pour une synthèse des systèmes existants à cette époque).

Si le dimensionnement des solives métalliques est présenté en détail dans les traités de construction des années 1850-1900 (voir par exemple Morin 1853 [4], Jolly et Joly 1863[3], Denfer 1894 [2]), le dimensionnement des entretoises et des boulons est plus rarement évoqué. Des fourchettes des dimensions utilisées habituellement sont indiquées, mais sans plus de précisions dans la plupart des cas. Par exemple Jolly et Joly indiquent (1863[3]) :

Avec le système actuel [à entretoises coudées et fentons], il est admis comme règle générale d'exécuter les chevêtres [entretoises] en fer carré de 16, 17 ou 18 millimètres suivant l'écartement des solives, et de varier l'espacement des carillons [fentons] de 11 millimètres, de 0m25 à 0m30.